Biến ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên là một ánh xạ từ Ω đến một tập hợp khác, thông thường là tập các số thực. Đặc biệt, nó phải là một hàm đo được. Điều này có nghĩa là, ví dụ, nếu X là một biến ngẫu nhiên thực, thì tập hợp các kết quả sao cho X là dương, {ω∈Ω:X(ω)>0}, phải là một sự kiện.

Người ta thường tóm gọn cách viết {ω∈Ω:X(ω)>0} thành {X>0} và viết P(X>0) thay vì viết P({X>0}).

Độc lập

Hai sự kiện, A và B được gọi là độc lập nếu P(A∩B)=P(A)P(B).

Hai biến ngẫu nhiên, X và Y, được gọi là độc lập nhau nếu bất kì sự kiện nào xác định bởi X là độc lập với mọi sự kiện xác định bởi Y. Một cách hình thức, chúng sinh ra các σ-đại số độc lập, trong đó hai σ-đại số G và H, là các tập con của F được gọi là độc lập nếu mọi phần tử của G là độc lập với mọi phần tử của H.

Khái niệm độc lập là nơi bắt nguồn của lý thuyết xác suất từ lý thuyết độ đo.

Loại trừ lẫn nhau

Hai sự kiện, A và B được gọi là loại trừ lẫn nhau hay "rời rạc" nếu P(A∩B)=0. (yếu hơn khái niệm A∩B=∅, vốn là định nghĩa rời rạc của các tập hợp).

Nếu A và B là các sự kiện rời rạc nhau, thì P(A∪B)=P(A)+P(B). Điều này vẫn đúng cho một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn đếm được) các sự kiện. Tuy nhiên, điều này không co nghĩa là xác suất của hợp không đếm được các sự kiện bằng tổng các xác suất. Ví dụ, nếu Z là một biến ngẫu nhiên phân phối bình thường, thì P(Z=x) bằng 0 với mọi x, nhưng P(Z là số thực)=1.

Sự kiện A∩B nghĩa là A và B, và sự kiện A∪B nghĩa là A hoặc B.

P(AB)=P(A)*P(B)